分析 （1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线，过点B作出x轴的垂线即可．（2）①分x＞O或x＜0两种情形利用勾股定理求出x与y的关系即可解决问题．②由题意得d1+d2=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$+|x|，列出方程即可解决问题．③求出直线y=2与抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$的两个交点为（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2），利用这两个特殊点，求出k的值即可解决问题．

解答 解；（1）线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，直线l1与l2的交点为P，如图所示，（2）①当x＞0时，如图2中，连接AP，作PE⊥y轴于E，∵l1垂直平分AB，∴PA=PB=y，在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE-OA=y-1，PA=y，∴y2=x2+（y-1）2，∴y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$，当x＜0时，点P（x，y）同样满足y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$，∴曲线l就是二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$即曲线l是抛物线．②∵d1=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$，d2=|x|，∴d1+d2=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$+|x|，当x=0时，d1+d2有最小值$\frac{1}{2}$，∴d1+d2≥$\frac{1}{2}$，∵d1+d2=8，则$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$+|x|=8，当x≥0时，原方程化为$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$+x-8=0，解得x=3或（-5舍弃），当x＜0时，原方程化为$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$-x-8=0，解得x=-3或（5舍弃），∵x=±3时，y=5，∴点P坐标（3，5）或（-3，5）．③如图3中，把y=2代入y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$，解得x=$±\sqrt{3}$，∴直线y=2与抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$的两个交点为（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2）．当直线y=kx+3经过点（-$\sqrt{3}$，2）时，2=-$\sqrt{3}$k+3∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，当直线y=kx+3经过点（$\sqrt{3}$，2）时，2=$\sqrt{3}$k+3，∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴直线y=kx+3与这条“W”形状的曲线有四个交点时，k的取值范围是：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，利用勾股定理构建方程，学会转化的思想，最后一个问题的关键是取特殊点解决问题，属于中考压轴题．