分析 （1）首先连接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=$\frac{1}{2}$∠A，易得EF平分∠BFG，继而证得OE∥FG，证得OE⊥BC，则可得BC是⊙O的切线；（2）由在△OBE中，sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为r，可求得OB，BE的长，然后由在△BFG中，求得BG，FG的长，则可求得EG的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．

解答 （1）证明：连接OE，∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，∴∠BGF=∠C=90°，∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，∴∠OFE=$\frac{1}{2}$∠OFG，∴∠OFE=∠EFG，∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，∴OE∥FG，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为r，∴OB=$\frac{5}{3}$r，BE=$\frac{4}{3}$r，∴BF=OB+OF=$\frac{8}{3}$r，∴FG=BF•sinB=$\frac{8}{5}$r，∴BG=$\sqrt{B{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\frac{32}{15}$r，∴EG=BG-BE=$\frac{4}{5}$r，∴S△FGE=$\frac{1}{2}$EG•FG=$\frac{16}{25}$r2，EG：FG=1：2，∵BC是切线，∴∠GEH=∠EFG，∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，∴$\frac{{S}_{△EGH}}{{S}_{△FGE}}$=（$\frac{EG}{FG}$）2=$\frac{1}{4}$，∴S△EHG=$\frac{1}{4}$S△FGE=$\frac{4}{25}$r2．

点评 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．