分析 （1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，6），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=2x+2，则D（0，2），接着利用两点间的距离公式计算出BD2=20，CD2=20，BC2=40，然后利用勾股定理的逆定理判断△CDB的形状；（3）作EH∥y轴交AC于H，如图2，设E（m，-m2+3m+4）（-1＜m＜2），则H（m，2m+2），则EH=-m2+m+2，利用三角形面积公式和S△ACE=S△AEH+S△CEH得到-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+3=$\frac{27}{8}$，解得m1=m2=$\frac{1}{2}$，则得到E（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{4}$），再利用而此函数的性质得∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），于是得到点E关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点F的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），然后分类讨论：当以EF为对角线时，易得点P在顶点，坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），当以EF为边时，如图2，根据平行四边形的性质得EF∥PQ，EF=PQ=2，于是确定P点的横坐标为-$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$，然后计算出对应的函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-4），即y=-x2+3x+4；（2）△CDB是等腰直角三角形．理由如下：如图1，∵C（2，a）在抛物线上，∴a=-4+6+4=6，∴C（2，6），设直线AC的解析式为y=kx+p，把A（-1，0），C（2，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+p=0}\\{2k+p=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=2}\end{array}\right.$，∴直线AC的解析式为y=2x+2，当x=0时，y=2x+2=2，则D（0，2），∵BD2=22+42=20，CD2=22+（6-2）2=20，BC2=22+62=40，∴BD2+CD2=BC2，∴△BCD为直角三角形，∠BDC=90°，而BD=CD=2$\sqrt{5}$，∴△CDB是等腰直角三角形；（3）能．作EH∥y轴交AC于H，如图2，设E（m，-m2+3m+4）（-1＜m＜2），则H（m，2m+2），∴EH=-m2+3m+4-（2m+2）=-m2+m+2，∵S△ACE=S△AEH+S△CEH=$\frac{1}{2}$•3•EH=-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+3，∴-$\frac{3}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+3=$\frac{27}{8}$，整理得4m2-4m+1=0，解得m1=m2=$\frac{1}{2}$，∴E（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{4}$），∵y=-x2+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{25}{4}$，∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），∴点E关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点F的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），以点E，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，有2种可能：当以EF为对角线时，因为PQ与EF互相平分，则点P在顶点，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），当以EF为边时，如图2，则EF∥PQ，EF=PQ=2，∴P点的横坐标为-$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$，而x=-$\frac{1}{2}$时，y=-x2+3x+4=$\frac{9}{4}$；当x=$\frac{7}{2}$时，y=-x2+3x+4=$\frac{9}{4}$，此时P点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），综上所述，满足条件的P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定和平行四边形的性质；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式，能运用勾股定理的逆定理证明直角三角形；会利用相似三角形的知识求线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．