分析 （1）直接把点A（1，4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$，求出m的值即可；（2）设BD，AC交于点E，利用锐角三角函数的定义得出tan∠EAB=tan∠ECD，进而可得出结论；（3）根据DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，由中心对称的性质得出a的值，故可得出点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可；②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，求出a的值，故可得出点B的坐标，设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可．

解答 解：（1）∵函数$y=\frac{m}{x}$（x＞0，m是常数）图象经过A（1，4），∴m=4；（2）解法1，设BD，AC交于点E，∵在Rt△AEB中，tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{a-1}{4-\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；∴∠EAB=∠ECD；∴DC∥AB．解法2，设BD，AC交于点E，根据题意，可得B点的坐标为（a，$\frac{4}{a}$），D点的坐标为（0，$\frac{4}{a}$），E点的坐标为（1，$\frac{4}{a}$）．∵a＞0，AE=4-$\frac{4}{a}$，CE=$\frac{4}{a}$，EB=a-1，ED=1；∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{4-\frac{4}{a}}{\frac{4}{a}}$=a-1，∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EB}{ED}$=a-1．又∵∠AEB=∠CED；∴△AEB∽△CED∴∠EAB=∠ECD；∴DC∥AB．（3）解法1，∵DC∥AB，∴当AD=BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，由中心对称的性质得：BE=DE，则a-1=1，得a=2．∴点B的坐标是（2，2）．设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$∴直线AB的函数表达式是y=-2x+6．②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，∴a=4，∴点B的坐标是（4，1）．设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$∴直线AB的函数表达式是y=-x+5．综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5．解法2，当AD=BC时，AD2=BC2．在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2；  在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2∴${（4-\frac{4}{a}）^2}+{1^2}={（a-1）^2}+{（\frac{4}{a}）^2}$，整理得：a3-2a2-16a-32=0，∴（a-2）（a+4）（a-4）=0；∴a=2或a=-4或a=4，∵a＞1，∴a=2或a=4．①当a=2时，点B的坐标是（2，2）．设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$∴直线AB的函数解析式是y=-2x+6．②当a=4时，点B的坐标是（4，1）．设直线AB的函数解析式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$∴直线AB的函数表达式是y=-x+5．综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=-2x+6或y=-x+5．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式等知识，难度适中．